当牙齿发生根折时，根据其位置、程度以及患者的具体情况，医生会选择不同的处理方式。牙根折断后的常用取出方法主要包括保守治疗和手术治疗两种大类。
1. 保守治疗方法：对于部分轻微的根折或位于冠部较浅部位的根折，如果牙齿的剩余结构足够稳固，可以尝试使用复合树脂等材料进行修复，同时结合牙髓治疗来保留患牙。此外，还可以通过正畸牵引的方法将断端逐渐拉出至牙龈以上，以便于后续处理。
2. 手术治疗方法：对于那些根折位置较深、断裂面不平整或伴有严重感染的病例，则需要采取手术方式取出断根。
   - 翻瓣去骨法：在局部麻醉下切开牙龈，翻开软组织瓣，去除部分骨质以暴露根尖，然后使用专用器械将残留的根部完整地拔除。
   - 分段取根术：当遇到难以直接取出的大块断根时，可以先将其分割成小片段后再逐一取出，这样能够减少对周围组织的损伤。
   - 显微镜下取根：利用显微外科技术，在放大视野下精确操作，有助于保护牙槽骨和邻近牙齿，并提高手术成功率。

在实际临床工作中，医生会根据患者的具体病情以及自身经验和技能水平来决定最合适的治疗方案。同时，术后的护理也非常重要，包括定期复查、合理饮食等措施，以促进伤口愈合并防止并发症的发生。