当面对非自愿堕胎的要求时，医生需要采取谨慎且负责任的态度来处理这一复杂情况。首先，医生应当确保对患者的情况进行全面的了解，包括但不限于患者的健康状况、怀孕的具体情况以及要求终止妊娠的原因等。在此过程中，医生应保持同情心和专业性，为患者提供一个安全和支持性的环境。

接下来，医生需评估该请求是否符合法律规定。不同国家和地区对于堕胎有不同的法律限制，特别是在非自愿的情况下，如遭遇性侵犯或存在严重健康风险时。了解并遵守当地法律法规是至关重要的一步。

同时，医生还应该考虑伦理道德方面的问题。在医学实践中，保护患者的生命和健康是最基本的原则之一。如果继续妊娠可能对母亲造成生命威胁或者严重影响其长期生活质量，则需要从专业角度出发进行判断，并向患者及其家属解释所有可行的医疗选项及后果。

此外，在处理此类敏感问题时，建议医生与心理咨询师、法律顾问等专业人士合作，共同为患者提供全面的支持和服务。确保患者能够获得准确的信息和必要的心理支持，帮助她们做出最适合自己情况的选择。

最后，无论最终决定如何，医生都应该尊重患者的意愿，并为其提供相应的医疗服务和支持。在整个过程中，保持沟通的开放性和透明度对于建立信任关系至关重要。